• Tweet

OpenAI Inc. a publicat acest conținut pe 8 septembrie 2026 și se referă la o soluție la problema existenței și netezimii ecuațiilor Navier-Stokes, una dintre problemele Premiului Mileniului. Această demonstrație, generată de un sistem intern al OpenAI, arată că dinamica ecuațiilor Navier-Stokes pentru mișcarea fluidelor poate dezvolta o singularitate într-un timp finit. AI de la Chat GPT - Astra a rezolvat o problema veche de 90 de ani in 88 de ore, aproape o ora pentru fiecare an scurs:

Vă prezentăm atât o descriere a demonstrației, cât și o formalizare în Lean. Problemele Premiului Mileniului⁠ (se deschide într-o fereastră nouă) reprezintă unele dintre cele mai profunde întrebări de la frontiera matematicii. Întrebarea dacă mișcarea fluidă tridimensională poate suferi o ruptură a rămas nerezolvată de aproximativ 90 de ani.

Un obiectiv major al muncii noastre este de a le oferi oamenilor de știință mijloacele necesare pentru a avansa cercetarea și tehnologia în beneficiul întregii umanități. Pentru a rezolva problema Navier-Stokes, am folosit un model intern care este semnificativ mai performant decât GPT-6 Astra. Considerăm că este important să informăm lumea cu privire la ritmul progresului IA și la ce ne putem aștepta de la modelele viitoare.

Problema

Ecuațiile Navier-Stokes utilizează a doua lege a mișcării a lui Newton („F=ma") pentru a descrie modul în care se mișcă fluidele. Un aspect important este că ele tratează fluidul ca pe un mediu continuu, în loc să urmărească moleculele individuale. Aceste ecuații sunt utilizate pentru proiectarea aeronavelor, prognozarea vremii și studiul fluxului sanguin.

O întrebare fundamentală rămasă deschisă pentru aceste ecuații dinamice a fost dacă aproximarea continuă a fluidului se poate destrăma. Mai precis, pot ecuațiile Navier-Stokes pentru un fluid tridimensional incompresibil cu densitate constantă să dezvolte o „singularitate", chiar și atunci când mișcarea începe lin? Aici, o singularitate înseamnă că dinamica duce la creșterea fără limită a vitezelor din fluid într-un interval finit de timp. Apariția unei singularități ar trebui să aibă loc în ciuda prezenței vâscozității, care tinde să netezească mișcarea. Deoarece un fluid real nu se poate mișca infinit de repede, acest lucru ar marca o defecțiune în modul în care ecuațiile modelează fluidul. Pentru a continua modelarea sistemului, ar fi necesar să se urmărească comportamentul fiecărei particule în parte.

Ecuațiile datează din lucrările din secolul al XIX-lea ale lui Claude-Louis Navier și George Gabriel Stokes. În 1934, Jean Leray a demonstrat că soluțiile există într-un sens generalizat, dar dacă acestea rămân întotdeauna continue a devenit o întrebare centrală fără răspuns. În 2000, Institutul de Matematică Clay a desemnat problema existenței și continuității ecuațiilor Navier-Stokes drept una dintre cele șapte Probleme ale Premiului Mileniului.

Rezultatul

Sistemul nostru a generat o demonstrație analitică și o formalizare Lean conform cărora un fluid inițial continuu, aflat în repaus, poate dezvolta o singularitate într-un timp finit. Fluidul are o forță netedă aplicată asupra sa, iar energia sa rămâne finită pe parcursul întregii dinamici, de la repaus până la formarea singularității. Acest lucru rezolvă problema Navier-Stokes din cadrul Premiului Mileniului prin demonstrarea afirmației „C" (și, de asemenea, a „D") din formularea oficială a Premiului Mileniului⁠ (se deschide într-o fereastră nouă).

Soluția este un vârtej, un curent rotitor de fluid, care se învârte în spirală spre interior și se alungește din ce în ce mai mult, asemenea spaghetelor. Această regiune centrală se micșorează în timp ce accelerează, astfel încât energia sa să rămână totuși finită, așa cum impun legile fizicii. Provocarea tehnică constă în faptul ca ecuațiile să genereze colapsul prin mișcarea fluidului însuși, și nu, de exemplu, prin aplicarea manuală a unei forțe infinite. Din punct de vedere matematic, termenii din ecuațiile Navier-Stokes care descriu mișcarea - accelerația, gradientele de presiune, transferul de impuls, vâscozitatea - trebuie să devină mari, dar să se anuleze reciproc într-un mod precis. Acest echilibru detaliat lasă o forță externă uniformă chiar și atunci când viteza fluidului crește fără limită.

O imagine a mișcării locale incompresibile. Culoarea portocalie indică o rotație unghiulară mai rapidă; culoarea verde-albăstrui indică o rotație mai lentă. Viteza de circulație depinde, de asemenea, de rază. Traiectoriile arată o spirală spre interior și o întindere axială.

Cum am găsit dovada

Începând cu 28 august, antrenăm un nou model intern care a demonstrat o performanță fără precedent în testele noastre de referință, inclusiv în matematică. Antrenarea acestui model este în curs de desfășurare, iar performanța sa continuă să se îmbunătățească.

Marți, 1 septembrie, am auzit zvonuri că două probleme din cadrul Premiului Millennium au fost rezolvate. Inspirați de aceste zvonuri și de schimbarea radicală a performanței modelului nostru intern, am demarat un efort de evaluare a acestuia pe toate problemele deschise din cadrul Premiului Millennium și pe câteva alte probleme de mare impact.

Am folosit un sistem de agenți coordonatori alimentați de modelul nostru intern. Agenții aveau acces la instrumente precum capacitatea de a citi dintr-o versiune stocată în cache a internetului și capacitatea de a rula cod. Agenții erau împărțiți în grupuri, având posibilitatea de a comunica în cadrul grupului. Grupurile aveau dimensiuni variate, iar grupul care a generat soluția pentru ecuațiile Navier-Stokes a implicat aproximativ 10.000 de agenți care acționau simultan. În permanență am menținut aceleași măsuri stricte de siguranță pe care le aplicăm tuturor evaluărilor noastre de modele de frontieră, inclusiv monitorizarea și izolarea.

Pentru fiecare problemă, am prezentat diferitelor grupuri de agenți variante diferite ale enunțului problemei, acoperind astfel toate variantele acesteia. Pentru problema Navier-Stokes, am propus versiunile „A" și „B" (forme specifice ale problemei Navier-Stokes care ar conduce la o dovadă) și versiunile „C" și „D" (care ar conduce la o infirmare) unor grupuri separate de agenți.

Pe lângă problemele complete ale Premiului Mileniului, am solicitat sistemului nostru multiagent să încerce un set de probleme „mai ușoare". Una dintre aceste probleme era o întrebare similară privind explozia pentru limita problemei Navier-Stokes fără termenul de vâscozitate. Aceasta este cunoscută sub numele de problema regularității pentru ecuațiile lui Euler, iar agenții noștri ne-au surprins rezolvând această problemă. Varianta specifică a problemei pe care au rezolvat-o a fost versiunea fără forțe externe, în care nu se aplică nicio forță externă asupra fluidului. Aproape 100 de agenți au lucrat împreună timp de aproximativ 50 de ore pentru a produce refutarea noastră privind regularitatea ecuațiilor lui Euler.1

Odată ce am văzut soluția pentru ecuațiile lui Euler, am considerat că problema Navier-Stokes era cea mai promițătoare pe care să o abordăm. Astfel, am decis să ne dedicăm resursele problemei Navier-Stokes. Pentru a face acest lucru, am retras agenții de la celelalte Probleme ale Mileniului și le-am furnizat soluția pentru ecuațiile lui Euler. Pe parcursul efortului, când a devenit disponibilă o versiune mai bine antrenată a modelului nostru intern, am actualizat agenții noștri la acel model.

Am încurajat diferite grupuri de agenți să exploreze o diversitate de abordări. După ceva timp, am realizat un schimb de idei între grupurile de agenți folosind Codex pentru a consolida cele mai utile perspective din fiecare grup de agenți. Aceste instrucțiuni ulterioare s-au bazat pe propriile rezultate intermediare ale agenților. Grupul care a găsit soluția la problema Navier-Stokes a fost ghidat în acest mod.

Agenții au ajuns la soluție sâmbătă, 5 septembrie, la aproximativ 88 de ore după lansarea primilor agenți. Formalizarea și verificarea simplificate au durat încă 17 ore prin intermediul GPT-6 Astra.

În total, pentru toate problemele abordate, agenții au trimis 4,9 milioane de mesaje și au utilizat aproximativ 300 de miliarde de tokenuri de ieșire. În procesul de rezolvare a problemei Navier-Stokes, agenții au trimis 2,7 milioane de mesaje și au utilizat aproximativ 130 de miliarde de tokeni de ieșire.

Munca în paralel

Efortul nostru a început pe 1 septembrie, după ce am auzit un zvon despre care am realizat ulterior că era legat de Levent Alpöge, un angajat al Anthropic, și de Tristan Buckmaster, profesor de matematică la NYU. După finalizarea proiectului nostru complet și a verificării Lean (pe 6 septembrie), crezând, pe baza zvonului, că și ei aveau o soluție pentru problema Navier-Stokes, i-am contactat pentru a le propune o publicare simultană a rezultatelor noastre și pentru a le recunoaște prioritatea într-un anunț comun. În acel moment am aflat că ei aveau o soluție pentru problema Euler forțată. În cadrul acestor discuții, le-am oferit acces la toate prompturile pe care le-am folosit și, ulterior, la dovada matematică. Recunoaștem prioritatea muncii lor privind problema Euler forțată și îi felicităm pentru realizarea matematică remarcabilă.

Noi (cercetătorii și agenții) nu am avut acces la nicio parte a muncii lor prin niciun mijloc până când aceștia nu au publicat-o - în special, nu au fost accesate date specifice ale utilizatorilor pentru a rezolva această problemă. Deși este puțin probabil, nu putem exclude posibilitatea ca datele anonimizate, derivate din utilizarea produselor noastre de către ei, să fi contribuit la îmbunătățirea modelelor noastre⁠. Cu toate acestea, demonstrațiile noastre diferă semnificativ, iar chiar și rezultatele exacte demonstrate sunt diferite în cazul Euler (forțat vs. neforțat).

Progres și responsabilitate

Scopul nostru în publicarea acestui rezultat este de a raporta progresul substanțial al modelelor noastre de IA. Nu intenționăm să revendicăm Premiul Mileniului pentru acest rezultat.

Această etapă importantă reprezintă o muncă substanțială depusă de matematicieni și cercetători în domeniul IA. Totuși, aceasta nu este un punct culminant, ci mai degrabă o imagine instantanee a progresului înregistrat în dezvoltarea IA.

Credem că ne aflăm acum în următoarea etapă a progresului IA⁠, iar rezultatele de astăzi oferă dovezi suplimentare în acest sens. Ne concentrăm pe înțelegerea acestui model și pe utilizarea cunoștințelor dobândite pentru a ne ghida și a stabili ritmul în care urmărim noi progrese în ceea ce privește capacitățile. Unul dintre obiectivele noastre cheie⁠ este construirea de sisteme de IA care să fie controlabile, responsabile și conectate la oameni, ceea ce ar putea necesita alegeri mai deliberate cu privire la ritmul progresului, pe măsură ce ne continuăm misiunea de a ne asigura că IA generală (AGI) aduce beneficii întregii umanități.